Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство

Пусть MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 195). Докажем, что MN || AC и

Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (∠B — общий поэтому ∠1 = ∠2 и Из равенства ∠1 = ∠2 следует, что MN || АС (объясните почему), а из второго равенства — что Теорема доказана.

Пользуясь этой теоремой, решим следующую задачу:

Задача 1

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА₁ и ВВ₁ и проведём среднюю линию А₁В₁ этого треугольника (рис. 196). Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁ секущими АА₁ и ВВ₁. Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

Но АВ = 2А₁В₁, поэтому АО= 2А₁О и ВО = = 2В₁О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.